Time Series Decomposition

• 因素分解方法：克服其他因素干扰，单纯测度某个确定性因素（季节、趋势、交易日）的序列的影响
• 指数平滑预测方法：根据序列呈现的确定性特征，选择适当的方法对序列进行综合预测

因素分解模型

• 因素分解模型思想

  • 所有序列波动可以归纳为受到以下 4 种因素影响（全部或部分）
  • 导致序列呈现不同的波动特征，即任何时间序列可以用 4 因素的某个函数进行拟合 $x_t = f(T_t, C_t, S_t, I_t)$

• Trend：序列呈现的长期递增、递减的变化趋势

• Circle：序列呈现的从高到低、在由低到高的反复循环波动

  • 很多经济、社会现象确实有循环周期，但是这个周期往往很长、长度不固定
  • 如何观测值序列不够长，没有包含多个周期，周期的一部分会和趋势重合，无法准确、完整地提取周期影响
  • 在经济学领域常用的周期有
    • 基钦周期：平均 40 个月
    • 朱格拉周期：平均 10 年
    • 库兹涅茨周期：平均 20 年
    • 康德拉季耶夫周期：平均 53.3 年

• Season：和季节变化相关的稳定周期波动

• Immediate：其他不能用确定性因素解释的序列波动

常用模型（函数）

• 加法模型：$x_t = T_t + C_t + S_t + I_t$
• 乘法模型：$x_t = T_t C_t S_t * I_t$
• 伪加法模型：$x_t = T_t * (S_t + D_t + I_s)$
• 对数加法模型：$log{x_t} = log{Tt} + log{St} + log{Dt} + log{I_t}$

考虑节假日

• 有些社会、经济现象显示某些 特殊日期 是很显著的影响因素，但是在传统因素分解模型中，没有被纳入研究

  • 股票交易受交易日影响
  • 超市销售受周末、节假日影响
  • 交通、运输、旅游同样受到周末、节假日影响

• 如果观察时期不足够长，考虑将模型中 Circle（周期） 改为 Day（节假日）

Exponential Smoothing

• 根据序列是否具有长期趋势、季节效应，可以把序列分为3大类
  • 既没有长期趋势、又没有季节效应
  • 只有长期趋势、没有季节效应
  • 有季节效应，无论是否有长期趋势

简单指数平滑

简单移动平均

• 对无趋势、季节的水平平稳序列
  • 可以认为序列在比较短时间内，序列取值比较稳定，序列值差异主要是随机波动造成
  • 根据此假定，可以使用最近一段时间内平均值作为未来几期预测值

$$\begin{align*} \hat x_{t+1} & = \frac {x_t + x_{t-1} + \dots + x_{t_n+1}} n \\ \hat x_{t+2} & = \frac {\hat x_t + x_t + x_{t-1} + \dots + x_{t-n+2}} n \\ \hat x_{t+l} & = \frac {\hat x_{t+1-1} + \hat x_{t+l-2} + \dots + \hat x_{t+1} + x_t + \dots + x_{t-n+l}} n \\ \end{align*}$$

• 简单移动平均假定无论时间远近，近 $n$ 期的序列观测值影响力一样

简单指数平滑预测

• 实务中，对一般的随机事件，近期的结果对现在的影响更大

• 指数平滑法构造思想
  • 考虑到事件间隔对事件发展的影响，各期权重随时间间隔增大而指数衰减

$$\begin{align*} \hat x_{t+1} & = \alpha x_t + \alpha (1-\alpha) x_{t-1} + \alpha (1-\alpha)^2 x_{t-2} + \dots \\ & = \alpha x_t (1-\alpha) [\alpha x_{t-1} + \alpha (1-\alpha) x_{t-2} + \alpha (1-\alpha)^2 x_{t-3} + \dots] \\ & = \alpha x_t + (1-\alpha) \hat x_t \end{align*}$$

• 初值：很多方法可以确定，最简单指定 $\hat x_1 = x_1$
• 平滑系数 $\alpha$
  • 经验值在 $[0.05, 0.3]$，
    • 对于变化较缓慢的序列，取较小值
    • 对于变化迅速的序列，取较大值
  • 如果 $\alpha$ 过大，说明序列波动性过强，不适合使用简单指数平滑
• 理论上可以预测任意期值，但是任意期预测值都是常数
  • 因为没有新的观测值提供新信息

Holt 两参数指数平滑

• 两参数指数平滑
  • 适合对含有线性趋势的序列进行修匀
  • 即分别用指数平滑的方法，结合序列最新观察值，不断修匀参数 $a, b$ 的估计值

$$\begin{align*} x_t & = a_0 + bt + \epsilon_t \\ & = a_0 + b(t-1) + b + \epsilon \\ & = (x_{t-1} + \epsilon_{t-1}) + b + \epsilon_t \\ & = a(t-1) + b(t) \end{align*}$$

• $a(t-1) = x{t-1} - \epsilon{t-1}$
• $b(t) = b + \epsilon_t$

• 两参数递推公式

  $$\begin{align*} \hat a(t) & = \alpha x_t + (1-\alpha)[\hat \alpha(t-1) + \hat b(t-1)] \\ \hat b(t) & = \beta [\hat a(t) - \hat a(t-1)] + (1-\beta) \hat b(t-1) \end{align*}$$

• 序列预测公式

  $$\hat x_{t+k} = \hat a(t) + \hat b(t)*k \\$$

• 初值设置

  • $\hat a(0)=x_1$
  • $\hat b(0)=\frac {x_{n+1} - x_1} n$

Holt-Winter 三参数指数平滑

• 三参数指数平滑
  • 在 Holt 指数平滑的基础上构造，以修匀季节效应

加法模型

• 模型表达式

  $$\begin{align*} x_t & = a_0 + bt + c_t + \epsilon_t \\ & = a_0 + b(t-1) + b + c_t + \epsilon_t \\ & = (x_{t-1} - c{t-1} - \epsilon_{t-1}) + b + \epsilon_t + (Sd_j + e_t) \\ & = a(t-1) + b(t) + c(t) \end{align*}$$

  • $a(t-1) = x{t-1} - c{t-1} - \epsilon_{t-1}$
  • $b(t) = b + \epsilon_t$
  • $c_t = Sd_t + e_t, e_t \sim N(0, \sigma_e^2)$

• 三参数递推式

  $$\begin{align*} \hat a(t) & = \alpha(x_t - c(t-s)) + (1-\alpha)[\hat a(t-1) + \hat b(t-1)] \\ \hat b(t) & = \beta[\hat a(t) - \hat a(t-1)] + (1-\beta)\hat b(t-1) \\ \hat c(t) & = \gamma[x_t - \hat a(t)] + (1-\gamma)c(t-s) \end{align*}$$

• 序列预测公式

  $$\hat x_{t+k} = \hat a(t) + \hat b(t) + \hat c(t + mod(k,s) -s)$$

乘法模型

• 模型表示式

  $$\begin{align*} x_t & = (a_0 + bt + \epsilon_t)c_t \\ & = (a_0 + b(t-1) + b + \epsilon_t)c_t \\ & = [(x_{t-1}/c{t-1} - \epsilon_{t-1})+ (b + \epsilon_{t-1})](S_j + e_t) \\ & = [a(t-1) + b(t)]c(t) \end{align*}$$

  • $a(t-1) = x{t-1}/c{t-1} - \epsilon_{t-1}$
  • $b(t) = b + \epsilon_t$
  • $c_t = S_j + e_t, e_t \sim N(0, \sigma_e^2)$

• 三参数递推式

  $$\begin{align*} \hat a(t) & = \alpha(x_t / c(t-s)) + (1-\alpha)[\hat a(t-1) + \hat b(t-1)] \\ \hat b(t) & = \beta[\hat a(t) - \hat a(t-1)] + (1-\beta)\hat b(t-1) \\ \hat c(t) & = \gamma[x_t / \hat a(t)] + (1-\gamma)c(t-s) \end{align*}$$

• 序列预测公式

  $$\hat x_{t+k} = [\hat a(t) + \hat b(t) * k] \hat c(t + mod(k,s) -s)$$

Spurious Regression

• 多变量分析中，平稳性非常重要，忽略序列平稳性判断，容易出现伪回归现象

• Granger、Newbold 的非平稳序列的伪回归随机模型实验（两个独立随机游走模型）表明

  • 非平稳场合，参数显著性检验犯弃真错误的概率远大于 $\alpha$，伪回归显著成立
  • 即 $P(|t| \geqslant t_{\alpha/2}(n) | 非平稳序列) \leqslant \alpha$

Cointegration 协整关系

$$y_t = \beta_0 + \sum_{i=1}^k \beta_i x_{it} + \epsilon_t$$

• ${x_1}, {x_2}, \cdots, {x_k}$：自变量序列
• $y_t$：响应变量序列
• ${\epsilon_t}$：平稳回归残差序列

协整检验

• 假设条件

  • $H_0: \epsilon_t ~ I(k), k \geqslant 1$：多元非平稳序列之间不存在协整关系
  • $H_1: \epsilon_t ~ I(0)$：多元非平稳序列之间存在协整关系

• 建立响应序列与输入序列之间的回归模型

• 对回归残差序列进行 EG 平稳性检验

Error Correction Model

ECM：误差修正模型，解释序列短期波动关系

• Granger 证明协整模型、误差修正模型具有 1-1 对应关系
  • 协整模型度量序列之间长期均衡关系

• 实务中，响应序列与解释序列很少处于均衡点上，实际观测的是序列间短期或非均衡关系

Granger 表述定理

• 如果变量 $X$、$Y$ 是协整的，则他们之间的短期非均衡关系总能用一个误差修正模型表述 $$

    \Delta Y_t = lagged(\Delta Y, \Delta X) - \lambda ECM_{t-1} + \epsilon_t
  

  $$

• 对关系 $y_t = \beta x_t + \epsilon_t$

  $$\begin{align*} y_t - y_{t-1} & = \beta x_t - \beta x_{t-1} - \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \\ \Delta y_t & = \beta \delta x_t - ECM_{t-1} + \epsilon_t \end{align*}$$

• 响应序列当期波动 $\Delta y_t$ 主要受到三方面短期波动影响

  • $\Delta x_t$：输出序列当前波动
  • $ECM_{t-1}$：上一期误差
  • $\epsilon_t$：纯随机波动

误差修正模型

$$\Delta y_t = \beta_0 \Delta x_t + \beta_1 ECM_{t-1} + \epsilon_t$$

• $\beta_1 < 0$：表示负反馈机制
  • $ECM_{t-1} > 0$：正向误差，则会导致下一期值负向变化
  • $ECM_{t-1} < 0$：负向误差，则会导致下一期值正向变化

Granger 因果关系

• 因果关系：原因导致结果

  • 时间角度：原因发生在前，结果发生在后
  • 影响效果：$X$ 事件发生在前，且对 $Y$ 事件发展结果有意义

• Granger 检验可检验统计学意义上的 Granger 因果关系

  • 统计意义上的因果关系和现实意义上因果关系不同
  • 现实意义上变量因果关系强调逻辑自洽

Granger 因果关系

• 序列 $X$ 是序列 $Y$ 的 Granger 原因，当且仅当最优线性预测函数使得下式成立 $$

    \theta^2(y_{t+1}|I_t) \leq \theta^2(y_{t+1}|I_t-X_t)
  

  $$

• $It = { x_t, x{t-1}, \cdots, yt, y{t-1}, \cdots }$：$t$ 时刻所有有用信息集合

• $Xt = { x_t, x{t-1}, \cdots }$：t时刻所有序列信息集合
• $\theta^2(y_{t+1}|I_t)$：使用所有可获得历史信息 （包括 ${x}$ 序列历史信息）得到的一期预测值方差
• $\theta^2(y_{t+1}|I_t-X_t)$：从所有信息中刻意扣除 ${x}$ 序列历史信息得到的一期预测值方差

• Granger 因果关系分类
  • $(x, y)$：相互独立
  • $(x \leftarrow y)$：$x$ 是 $y$ 的 Granger 原因
  • $(x \rightarrow y)$：$y$ 是 $x$ 的 Granger 原因
  • $(x \leftrightarrow y)$：互为因果

Granger 因果检验

• 建立回归方程

  $$y_t = \alpha_0 + \sum_{i=1}^m \alpha_i x_{t-i} + \sum_{j=1}^n b_j y_{t-j} + \sum_k cz_{t-k} + \epsilon_t$$

  • $z_t$：其他解释变量集合
  • $\epsilon_t \sim I(0)$

• 假设

  • $H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_m = 0$
  • $H_1: \alpha_i 不全为0$

• 检验统计量：F统计量

  $$F = \frac {(SSE_r - SSE_u) / q} {SSE_u/n-q-p-1} \sim F(q, n-p-q-1)$$

Granger 因果检验说明

• Granger 因果检验思想：对响应变量预测精度有显著提高的自变量，就视为响应变量的因

  • 因果性可以推出预测精度提高，但预测精度提高不能等价推出因果性
  • 即使检验结果显著拒绝原假设，也不能说明两个序列之间有真正因果关系

• Granger 因果检验是处理复杂变量关系时的工具

  • 借助因果检验信息，可以帮助思考模型结果
  • 不一定准确，但是提供信息比完全没有信息好

• Granger 因果结果说明

  • 检验结果严重依赖解释变量的延迟阶数，不同延迟阶数可能会得到不同的检验结果
  • 检验结果会受到样本随机性影响，样本容量越小随机性越大，所以最好在样本容量比较大时进行检验

JJ 检验

检验思想

• JJ 检验：检验 $VAR(k)$ 模型的协整关系
  • 参考多元分析中典型相关分析的构造思想

$$\begin{align*} Y_t & = c + \Pi_1 Y_{t-1} + \Pi_2 Y_{t-2} + \cdots + \Pi_k Y_{t-k} + u_t + \Phi D_t \\ \Delta Y_t & = y_{t-1} + \Pi Y_{t-1} + \Gamma_1 \Delta Y_{t-2} + \cdots + \Gamma_{k-1} \Delta Y_{t-p+1} + \epsilon_t + \Phi D_t \end{align*}$$

• $Yt = (y{1,t}, y{2,t}, \cdots, y{N,t})^T \sim I(1)$
• $\Pi = \sum_{i=1}^k \Pi_i - I$
• $\Gammai = -\sum{j=i+1}^k$

• 基础协整关系 = $\Pi$ 非零特征根数量
  • 基础协整关系的任意线性组合依然是协整的
  • 系统中协整关系至少为非零特征根数量

检验方法

• 假设 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \lambda_m$ 是 $\Pi$ 的所有特征根

最大特征根检验

• 检验统计量：Bartlette 统计量 $Q = -Tln(1-\lambda_i^2)$

• 假设

  • 原假设：$H_0: \lambda_i = 0$

• 检验流程

  • 从 $\lambda_1$ 开始检验是否显著不为 0
  • 直到某个 $\lambda_k$ 非显著不为0，则系统有 $k-1$ 个协整关系

迹检验

• 检验统计量：Bartlette 统计量 $Q = -T \sum_{j=i}^m ln(1-\lambda_j^2)$

• 假设

  • 原假设：$H0: \sum{j=i}^m \lambda_j = 0$

• 检验流程

  • 从 $\sum_{j=1}^m \lambda_j = 0$ 开始检验是否显著不为 0
  • 直到某个 $\sum_{j=k}^m ln(1-\lambda_j^2)$ 非显著不为 0，说明系统存在$k-1$个协整关系

时间序列分析

• 时间序列数据：在不同时间点收集到的数据，反映某事物、现象随实际变化状态、程度

• 描述性时序分析：通过直观的数据比较、绘图观测，寻找序列中蕴含的发展规律

  • 操作简单、直观有效，是时序分析的第一步
  • 但是只能展示非常明显的规律性
  • 最早的时序分析方法，所有时序分析的基础
  • 帮助人们找到自然规律
    • 尼罗河的泛滥
    • 范蠡稳定粮价
    • 小麦价格指数序列
    • 太阳黑子运动规律

• 确定性时序分析：根据序列的观察特征，先构想一个序列运行的理论，默认序列按照此理论确定性运作

  • 侧重于确定性信息的提取
  • 通常不能通过分析误差自行修正模型，只能通过新的模型假定， 推翻旧模型实现分析方法的改进
  • 假定条件决定了序列的拟合精度，如果确定性的假定条件不对， 误差将很大，因此限制其使用范围

时域分析

确定性时域分析

• 原理：事件的发展通常具有一定的惯性，用统计语言描述就是序列值之间存在一定的相关关系，即某种统计规律

• 目的：寻找序列值之间的相关关系的统计规律，并拟合适当数学模型描述，进而用于预测

• 特点

  • 理论基础扎实
  • 操作步骤规范
  • 分析结果易于解释

常用领域

• 宏观经济领域的 Time Series Decomposition

• 确定性趋势预测

  • 趋势预测：线性趋势预测、非线性趋势预测
  • 指数平滑预测：简单、两参、三参指数平滑

随机性时域分析

• 原理：假设序列为随机变量序列，利用对随机变量分析方法研究序列

• 特点

  • 预测精度更高
  • 分析结果可解释性差
  • 是目前时域分析的主流方法

频域分析

• 思想：假设任何一种无趋势的实现序列，都可以分解成若干不同频率的周期波动（借助傅里叶变换，用三角函数逼近）

时域分析发展

启蒙阶段

• AR 模型：George Undy Yule
• MA 模型、Yule-Walker 方程：Sir Gilbert Thomas Walker

核心阶段

• ARIMA：经典时间序列分析方法，是时域分析的核心内容
  • Box & Jenkins 书中系统的阐述了ARIMA模型的识别、估计、检验、预测原理和方法

完善阶段

• 异方差场合

  • ARCH：Robert Fry Engle
  • GARCH：Bollerslov
  • GARCH 衍生模型
    • EGARH
    • IGARCH
    • GARCH-M
    • NGARCH
    • QGARCH
    • TGARCH

• 多变量场合

  • ARIMAX：Box & Jenkins
  • Co-intergration and error correction model：C.Granger，协整理论
  • SYSLIN：Klein，宏观经济连理方程组模型
  • Vector Autoregressive Model：Sims，货币政策及其影响

• 非线性场合

  • Threshold Autoregressive Model
  • Artificical Neural Network
  • Hebbian Learning：神经可塑性假说
  • Multivariate Adaptive Regression Splines
  • Linear Classifier
  • Support Vector Machines

Vector Auto-regression Model

VAR 模型：向量自回归模型

• 模型特点

  • 不以经济理论为基础
  • 结构简介明了
  • 预测精度高

• 模型方程特点

  • 采用多方程联立的形式
  • 需要估计 $m(mp+1)$ 个参数的，对样本数量要求高
  • 模型的每个方程中，内生变量 对模型的全部内生变量滞后项进行回归，估计全部内生变量的动态关系

• 模型用途

  • 脉冲响应分析
  • 方差分解

VAR 模型参数

• VAR 模型系数由统计相关性估计

  • 不具有逻辑上的因果关系
  • 通常不直接解读 VAR 模型每个方程的经济学意义

• VAR 模型参数不进行参数显著性检验，但是允许研究人员对参数施加特殊约束

• VAR 模型通常是由一系列 非平稳序列构造的平稳系统

  • 所以若包含非平稳变量，其中至少存在 1 个协整关系
  • 协整关系具有经济学意义，可以解读系数（所以需要进行协整检验）

VAR模型形式

两变量 VAR(1)

• 方程组形式

  $$\begin{cases} & y_{1,t} = c_1 + \pi_{1,1}y_{1,t-1} + \pi_{1,2}y_{2,t-1} + u_{1t} \\ & y_{2,t} = c_2 + \pi_{2,1}y_{1,t-1} + \pi_{2,2}y_{2,t-1} + u_{2t} \\ \end{cases}$$

• 矩阵形式

  $$\begin{bmatrix} y_{1,t} \\ y_{2,t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \pi_{1,1} & \pi_{1,2} \\ \pi_{2,1} & \pi_{2,2} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} u_{1,t} \\ u_{2,t} \end{bmatrix}$$

• $u{1,t}, u{2,t} \overset {i.i.d.} {\sim} (0, \theta^2)$：随机波动项，$Cov(u{1,t}, u{2,t}) = 0$

多变量的 VAR(k)（含外生变量）

$$Y_t = C + \Pi_1 Y_{t-1} + \Pi_2 Y_{t-2} + \cdots + \Pi_k Y_{t-k} + U_t + \Phi Z_t$$

• $Yt = (y{1,t}, y{2,t}, \cdots, y{N,t})^T$：内生变量
• $C = (c_1, c_2, \cdots, c_N)^T$：常数项
• $\Pi_j = \begin{bmatrix}

    \pi_{11,j} & \pi_{12,j} & \cdots & \pi_{1N,j} \\
    \pi_{21,j} & \pi_{22,j} & \cdots & \pi_{2N,j} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    \pi_{N1,j} & \pi_{N2,j} & \cdots & \pi_{NN,j} \\
  

  \end{bmatrix}$：内生变量待估参数
• $Ut = (u{1,t}, u{2,t}, \cdots, u{N,t})^T \overset {i.i.d.} {\sim} (0, \Omega)$：随机波动项
• $Zt = (z{1,t}, z{2,t}, \cdots, z{N, t})^T$：外生变量

VAR(k) 变换

• VAR(k) 模型可通过变换附加伴随矩阵式，改写为 VAR(1)

$$\begin{align*} Y_t & = \Pi_1 Y_{t-1} + \Pi_2 Y_{t-2} + \cdots + \Pi_k Y_{t-k} + U_t \\ & = \begin{bmatrix} \Pi_1 & \Pi_2 & \cdots & \Pi_k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y_{t-1} \\ Y_{t-2} \\ \vdots \\ Y_{t-k} \end{bmatrix} + U_t \\ & = AY + U_t \end{align*}$$

Structured VAR

SVAR：结构 VAR 模型，在 VAR 模型基础上加入内生变量当期值

• 即解释变量中含有当期变量

两变量 SVAR(1)

$$\begin{cases} & y_{1t} = c_1 + \pi_{11}y_{2t} + \pi_{12}y_{1,t-1} + \pi_{13}y_{1,t-2} + u_1 \\ & y_{2t} = c_2 + \pi_{21}y_{1t} + \pi_{22}y_{1,t-1} + \pi_{23}y_{1,t-2} + u_2 \\ \end{cases}$$

含外生变量 VAR(1)

$$\begin{align*} AY_t & = D + BY_{t-1} + FZ_t + V_t \\ Y_t & = A^{-1}D + A^{-1}BY_{t-1} + A^{-1}FZ_t + A^{-1}v_t \\ & = C + \Pi_1 Y_{t-1} + HZ_t + U_t \end{align*}$$

• $Y_t, Z_t, V_t$：内生变量向量、外生变量向量、误差项向量
• $A, D, B, F$：模型结构参数
• $C=A^{-1}D, \Pi_1=A^{-1}B, H=A^{-1}F, U_t=A^{-1}V_t$

VAR 模型稳定性

• 把脉冲施加在 VAR 模型中某个方程的 Iinnovation 过程上
  • 随着时间推移，冲击会逐渐消失，则模型稳定
  • 冲击不消失的则模型不稳定

一阶 VAR 模型分析

$$\begin{align*} Y_t & = C + \Pi_1Y_{t-1} + U_t \\ & = (I + \Pi_1 + \Pi_1^2 + \cdots + \Pi_1^{t-1})C + \Pi_1^tY_0 + \sum_{i=0}^{t-1} \Pi_1^i U_{t-i} \end{align*}$$

• $\mu = (I + \Pi_1 + \Pi_2^2 + \cdots + \Pi_1^{t-1})C$：漂移向量
• $Y_0$：初始向量
• $U_t$：新息向量

• $t \rightarrow \infty$ 时有

  $$I + \Pi_1 + \Pi_2^2 + \cdots + \Pi_1^{t-1} = (I-\Pi_1)^{-1}$$

两变量 VAR(1) 稳定条件

$$Y_t = C + \Pi_1 Y_{t-1} + U_t$$

• 稳定条件
  • 特征方程$|\Pi_1 - \lambda I|=0$根都在单位圆内
  • 相反的特征方程$|I - L\Pi_1|=0$根都在单位圆外

VAR(k) 稳定条件

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} Y_t \\ Y_{t-1} \\ Y_{t-2} \\ \vdots \\ Y_{t-k+1} \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} C \\ 0 \\0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \Pi_1 & \Pi_2 & \cdots & \Pi_{k-1} & \Pi_{k} \\ I & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & I & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & I & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y_{t-1} \\ Y_{t-2} \\ Y_{t-3} \\ \vdots \\ Y_{t-k} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} U_t \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \\ & = [C|0]^T + AY + U \end{align*}$$

• $A$：$Nk$ 阶方阵
• $N$：回归向量维度
• $k$：自回归阶数

• 稳定条件
  • 特征方程 $|A - \lambda I| = 0$ 根全在单位圆内
  • 相反的特征方程 $|I - LA| = 0$ 根全在单位圆外

VEC 模型

N 变量 VEC(k)

$$\begin{align*} \Delta Y_t & = y_{t-1} + \Pi Y_{t-1} + \Gamma_1 \Delta Y_{t-2} + \cdots + \Gamma_{k-1} \Delta Y_{t-p+1} + U_t + \Phi Z_t \end{align*}$$

• $\Pi = \sum_{i=1}^k \Pi_i - I$：影响矩阵
• $\Gammai = -\sum{j=i+1}^k$

VEC(1)

$$\begin{align*} \Delta Y_{t} & = \Pi Y_{t-1} + \Gamma \Delta Y_{t-1} \\ & = \alpha \beta^{'} Y_{t-1} + \Gamma \Delta Y_{t-1} \\ & = \alpha ECM_{t-1} + \Gamma \Delta Y_{t-1} \end{align*}$$

Impulse-Response Function

脉冲响应函数：描述内生变量对误差冲击的反应

• 脉冲响应函数含义

  • 在随机误差下上施加标准查大小的冲击后，对内生变量当期值和未来值所带来的影响
  • 即将 VAR 模型表示为无限阶的向量 $MA(\infty)$ 过程

• 对脉冲响应函数的解释的困难源于，实际中各方程对应误差项不是完全非相关

  • 误差相关时，其有一个共同组成部分，不能被任何特定变量识别
  • 故，左乘变换矩阵 $M$ 得到 $V_t = MU_t$ 修正相关性（常用 Cholesky 分解求解）
    • 即将其协方差矩阵变换为对角矩阵 $V_t = MU_t \sim (0, \Omega)$

VAR(1) 转换为 MA

$$\begin{align*} Y_t & = AY_{t-1} + U_t \\ (I - LA)Y_t & = U_t \\ Y_t & = (I-LA)^{-1} U_t \\ & = U_t + AU_{t-1} + A^2U_{t-2} + \cdots + A^sU_t + \cdots\\ Y_{t+s} & = U_{t+s} + \Psi_1U_{t+s-1} + \Psi_2U_{t+s-2} + \cdots + \Psi_sU_t + \cdots \end{align*}$$

• $\Psis = A^s = \frac {\partial Y{t+s}} {\partial U_t}$
• $\Psis[i, j] = \frac {\partial y{i,t+s}} {\partial u{j,t}}$：脉冲响应函数，表示其他误差项在任何时期都不变条件下，第 $j$ 个变量 $y{j,t}$ 在对应误差项 $u{j,t}$ 在 $t$ 期受到一个单位冲击后，对第 $i$ 个内生变量 $y{i,t}$ 在 $t+s$ 期造成的影响

方差分解

方差分解：分析未来 $t+s$ 期 $y_{j, t+s}$ 的预测误差受不同新息冲击影响比例

均方误差

• 误差可以写为 MA 形式

  $$Y_{t+s} - \hat Y_{t+s|t} = U_{t+s} + \Psi_1U_{t+s-1} + \Psi_2U_{t+s-2} + \cdots + \Psi_{s-1}U_{t+1}$$

• 则预测s期的均方误差为

  $$\begin{align*} MSE(\hat Y_{t+s|t}) & = E[(Y_{t+s} - \hat Y_{t+s|t}) (Y_{t+s} - \hat Y_{t+s|t})^T] \\ & = \Omega + \Psi_1\Omega\Psi_1^T + \cdots + \Psi_{s-1}\Omega\Psi_{s-1}^T \end{align*}$$

• $\Omega = E(U_tU_t^T)$：不同期 $U_t$ 协方差阵为 0

计算比例

$$\begin{align*} U_t &= MV_t \\ &= m_1v_{1,t} + m_2v_{2,t} + \cdots + m_Nv_{N,t} \\ \Omega & = E(U_t, U_t^T) \\ & = (MV_t)(MV_t)^T \\ & = m_1m_1^TVar(v_{1,t} + \cdots + m_Nm_N^TVar(v_{N,t}) \end{align*}$$

• $v{1,t}, v{2,t}, \cdots, v_{N,t}$不相关

• 将 $\Omega$ 带入 MSE 表达式中，既可以得到第 $j$ 个新息对 $s$ 期预测量 $\hat Y_{t+s|t}$ 的方差贡献比例

VAR 建模

• 进行单变量平稳性检验

• 拟合 VAR(p) 模型

  • 确定模型阶数
    • 理论上初步模型阶数可以任意确定
    • 然后根据 AIC、BIC、对数似然函数值选择相对最优阶数

• 若所有变量平稳，则 Granger 因果检验

  • VAR 模型通过平稳性检验，理论上就可以利用模型进行分析、预测
  • 但 VAR 模型是超系数模型，默认所有内生变量互为因果
    • 但实际上变量之间因果关系复杂
    • 可通过 Granger 因果检验判断变量之间长期、短期因果关系

• 若有变量非平稳

  • 检验模型平稳性
  • Granger 因果检验
  • 协整检验：JJ 检验
    • 非平稳系统必然存在协整关系，具有经济学意义
    • 所以需要找出存在的基础协整关系，解读其代表的长期、短期相关影响
  • 构建 VEC 模型
    • 如果协整检验显示基本协整关系满秩，说明系统中每个序列都是平稳序列，直接建立VAR模型
    • 如果协整检验限制基本协整关系为 0 秩，则系统不存在协整关系，通常说明系统不平稳，需要重新选择变量， 或者适当差分后建模
    • 最常见情况是协整检验显示基本协整关系数量处于 0 至满秩中间，此时建立 $VEC$ 模型

• 脉冲响应分析

• 方差分析

• 模型预测

白噪声检验

进行ARIMA模型拟合时，通过检验查询序列是否通过LB检验（白噪声 检验）判断模型显著性，但是实际上

• LB检验只检验了白噪声序列的纯随机性
• 对于方差齐性没有进行检验
• 至于零均值，可以在建模时通过拟合常数项解决

方差齐性变换

如果已知异方差函数的具体形式，找到其转换函数，进行方差齐性 变换

$$若异方差形式为：\sigma_t^2 = h(\mu_t)，寻找转换函数g(x) \\ \Rightarrow g(x) \approx g(\mu_t) + (x_t - \mu_t)g'(\mu_t) \\ \Rightarrow Var[g(x_t) \approx [g'(\mu_t)^2]Var(x_t) \\ \Rightarrow [g'(mu_t)]^2 h(\mu_t) = \sigma^2 \\ \Rightarorw Var[g(x_t)] = \sigma^2 \\$$

拟合条件异方差模型