统计检验

JJ 检验

检验思想

• JJ 检验：检验 $VAR(k)$ 模型的协整关系
  • 参考多元分析中典型相关分析的构造思想

$$\begin{align*} Y_t & = c + \Pi_1 Y_{t-1} + \Pi_2 Y_{t-2} + \cdots + \Pi_k Y_{t-k} + u_t + \Phi D_t \\ \Delta Y_t & = y_{t-1} + \Pi Y_{t-1} + \Gamma_1 \Delta Y_{t-2} + \cdots + \Gamma_{k-1} \Delta Y_{t-p+1} + \epsilon_t + \Phi D_t \end{align*}$$

• $Yt = (y{1,t}, y{2,t}, \cdots, y{N,t})^T \sim I(1)$
• $\Pi = \sum_{i=1}^k \Pi_i - I$
• $\Gammai = -\sum{j=i+1}^k$

• 基础协整关系 = $\Pi$ 非零特征根数量
  • 基础协整关系的任意线性组合依然是协整的
  • 系统中协整关系至少为非零特征根数量

检验方法

• 假设 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \lambda_m$ 是 $\Pi$ 的所有特征根

最大特征根检验

• 检验统计量：Bartlette 统计量 $Q = -Tln(1-\lambda_i^2)$

• 假设

  • 原假设：$H_0: \lambda_i = 0$

• 检验流程

  • 从 $\lambda_1$ 开始检验是否显著不为 0
  • 直到某个 $\lambda_k$ 非显著不为0，则系统有 $k-1$ 个协整关系

迹检验

• 检验统计量：Bartlette 统计量 $Q = -T \sum_{j=i}^m ln(1-\lambda_j^2)$

• 假设

  • 原假设：$H0: \sum{j=i}^m \lambda_j = 0$

• 检验流程

  • 从 $\sum_{j=1}^m \lambda_j = 0$ 开始检验是否显著不为 0
  • 直到某个 $\sum_{j=k}^m ln(1-\lambda_j^2)$ 非显著不为 0，说明系统存在$k-1$个协整关系