确定性时序分析

Time Series Decomposition

• 因素分解方法：克服其他因素干扰，单纯测度某个确定性因素（季节、趋势、交易日）的序列的影响
• 指数平滑预测方法：根据序列呈现的确定性特征，选择适当的方法对序列进行综合预测

因素分解模型

• 因素分解模型思想

  • 所有序列波动可以归纳为受到以下 4 种因素影响（全部或部分）
  • 导致序列呈现不同的波动特征，即任何时间序列可以用 4 因素的某个函数进行拟合 $x_t = f(T_t, C_t, S_t, I_t)$

• Trend：序列呈现的长期递增、递减的变化趋势

• Circle：序列呈现的从高到低、在由低到高的反复循环波动

  • 很多经济、社会现象确实有循环周期，但是这个周期往往很长、长度不固定
  • 如何观测值序列不够长，没有包含多个周期，周期的一部分会和趋势重合，无法准确、完整地提取周期影响
  • 在经济学领域常用的周期有
    • 基钦周期：平均 40 个月
    • 朱格拉周期：平均 10 年
    • 库兹涅茨周期：平均 20 年
    • 康德拉季耶夫周期：平均 53.3 年

• Season：和季节变化相关的稳定周期波动

• Immediate：其他不能用确定性因素解释的序列波动

常用模型（函数）

• 加法模型：$x_t = T_t + C_t + S_t + I_t$
• 乘法模型：$x_t = T_t C_t S_t * I_t$
• 伪加法模型：$x_t = T_t * (S_t + D_t + I_s)$
• 对数加法模型：$log{x_t} = log{Tt} + log{St} + log{Dt} + log{I_t}$

考虑节假日

• 有些社会、经济现象显示某些 特殊日期 是很显著的影响因素，但是在传统因素分解模型中，没有被纳入研究

  • 股票交易受交易日影响
  • 超市销售受周末、节假日影响
  • 交通、运输、旅游同样受到周末、节假日影响

• 如果观察时期不足够长，考虑将模型中 Circle（周期） 改为 Day（节假日）

Exponential Smoothing

• 根据序列是否具有长期趋势、季节效应，可以把序列分为3大类
  • 既没有长期趋势、又没有季节效应
  • 只有长期趋势、没有季节效应
  • 有季节效应，无论是否有长期趋势

简单指数平滑

简单移动平均

• 对无趋势、季节的水平平稳序列
  • 可以认为序列在比较短时间内，序列取值比较稳定，序列值差异主要是随机波动造成
  • 根据此假定，可以使用最近一段时间内平均值作为未来几期预测值

$$\begin{align*} \hat x_{t+1} & = \frac {x_t + x_{t-1} + \dots + x_{t_n+1}} n \\ \hat x_{t+2} & = \frac {\hat x_t + x_t + x_{t-1} + \dots + x_{t-n+2}} n \\ \hat x_{t+l} & = \frac {\hat x_{t+1-1} + \hat x_{t+l-2} + \dots + \hat x_{t+1} + x_t + \dots + x_{t-n+l}} n \\ \end{align*}$$

• 简单移动平均假定无论时间远近，近 $n$ 期的序列观测值影响力一样

简单指数平滑预测

• 实务中，对一般的随机事件，近期的结果对现在的影响更大

• 指数平滑法构造思想
  • 考虑到事件间隔对事件发展的影响，各期权重随时间间隔增大而指数衰减

$$\begin{align*} \hat x_{t+1} & = \alpha x_t + \alpha (1-\alpha) x_{t-1} + \alpha (1-\alpha)^2 x_{t-2} + \dots \\ & = \alpha x_t (1-\alpha) [\alpha x_{t-1} + \alpha (1-\alpha) x_{t-2} + \alpha (1-\alpha)^2 x_{t-3} + \dots] \\ & = \alpha x_t + (1-\alpha) \hat x_t \end{align*}$$

• 初值：很多方法可以确定，最简单指定 $\hat x_1 = x_1$
• 平滑系数 $\alpha$
  • 经验值在 $[0.05, 0.3]$，
    • 对于变化较缓慢的序列，取较小值
    • 对于变化迅速的序列，取较大值
  • 如果 $\alpha$ 过大，说明序列波动性过强，不适合使用简单指数平滑
• 理论上可以预测任意期值，但是任意期预测值都是常数
  • 因为没有新的观测值提供新信息

Holt 两参数指数平滑

• 两参数指数平滑
  • 适合对含有线性趋势的序列进行修匀
  • 即分别用指数平滑的方法，结合序列最新观察值，不断修匀参数 $a, b$ 的估计值

$$\begin{align*} x_t & = a_0 + bt + \epsilon_t \\ & = a_0 + b(t-1) + b + \epsilon \\ & = (x_{t-1} + \epsilon_{t-1}) + b + \epsilon_t \\ & = a(t-1) + b(t) \end{align*}$$

• $a(t-1) = x{t-1} - \epsilon{t-1}$
• $b(t) = b + \epsilon_t$

• 两参数递推公式

  $$\begin{align*} \hat a(t) & = \alpha x_t + (1-\alpha)[\hat \alpha(t-1) + \hat b(t-1)] \\ \hat b(t) & = \beta [\hat a(t) - \hat a(t-1)] + (1-\beta) \hat b(t-1) \end{align*}$$

• 序列预测公式

  $$\hat x_{t+k} = \hat a(t) + \hat b(t)*k \\$$

• 初值设置

  • $\hat a(0)=x_1$
  • $\hat b(0)=\frac {x_{n+1} - x_1} n$

Holt-Winter 三参数指数平滑

• 三参数指数平滑
  • 在 Holt 指数平滑的基础上构造，以修匀季节效应

加法模型

• 模型表达式

  $$\begin{align*} x_t & = a_0 + bt + c_t + \epsilon_t \\ & = a_0 + b(t-1) + b + c_t + \epsilon_t \\ & = (x_{t-1} - c{t-1} - \epsilon_{t-1}) + b + \epsilon_t + (Sd_j + e_t) \\ & = a(t-1) + b(t) + c(t) \end{align*}$$

  • $a(t-1) = x{t-1} - c{t-1} - \epsilon_{t-1}$
  • $b(t) = b + \epsilon_t$
  • $c_t = Sd_t + e_t, e_t \sim N(0, \sigma_e^2)$

• 三参数递推式

  $$\begin{align*} \hat a(t) & = \alpha(x_t - c(t-s)) + (1-\alpha)[\hat a(t-1) + \hat b(t-1)] \\ \hat b(t) & = \beta[\hat a(t) - \hat a(t-1)] + (1-\beta)\hat b(t-1) \\ \hat c(t) & = \gamma[x_t - \hat a(t)] + (1-\gamma)c(t-s) \end{align*}$$

• 序列预测公式

  $$\hat x_{t+k} = \hat a(t) + \hat b(t) + \hat c(t + mod(k,s) -s)$$

乘法模型

• 模型表示式

  $$\begin{align*} x_t & = (a_0 + bt + \epsilon_t)c_t \\ & = (a_0 + b(t-1) + b + \epsilon_t)c_t \\ & = [(x_{t-1}/c{t-1} - \epsilon_{t-1})+ (b + \epsilon_{t-1})](S_j + e_t) \\ & = [a(t-1) + b(t)]c(t) \end{align*}$$

  • $a(t-1) = x{t-1}/c{t-1} - \epsilon_{t-1}$
  • $b(t) = b + \epsilon_t$
  • $c_t = S_j + e_t, e_t \sim N(0, \sigma_e^2)$

• 三参数递推式

  $$\begin{align*} \hat a(t) & = \alpha(x_t / c(t-s)) + (1-\alpha)[\hat a(t-1) + \hat b(t-1)] \\ \hat b(t) & = \beta[\hat a(t) - \hat a(t-1)] + (1-\beta)\hat b(t-1) \\ \hat c(t) & = \gamma[x_t / \hat a(t)] + (1-\gamma)c(t-s) \end{align*}$$

• 序列预测公式

  $$\hat x_{t+k} = [\hat a(t) + \hat b(t) * k] \hat c(t + mod(k,s) -s)$$