集合
集合
势
- 等势：若集合 $X, Y$ 之间存在双射 $\phi: X \rightarrow Y$，则称 $X, Y$ 等势
- 可数/可列集合：与自然数集合、其子集等势的集合称为可数集合，否则称为不可数集合
- 等势构成集合之间的等价关系
- 集合 $X$ 的等势类记为 $|X|$
- 若存在单射 $\phi: X \rightarrow Y$，则记为 $|X| \leq |Y|$
- 一些基本结论
- 自然数集 $N = {0, 1, 2, 3, \cdots}$ 和闭区间 $[0,1]$ 不等势
序
偏序集：若集合 $A$ 上有二元关系 $\leq$ 满足以下性质，则称集合 $A$ 为偏序集，关系 $\leq$ 称为偏序关系
- 反身性：$\forall x \in A, x \leq x$
- 传递性：$(x \leq y) \wedge (y \leq z) \Rightarrow x \leq z$
- 反称性：$(x \leq y) \wedge (y \leq x) \Rightarrow x = y$
全序集：若 $\leq$ 是集合上的偏序关系，若对每个$x, y \in A$，必有 $x\leq y$ 或 $y \leq x$，则称集合 $A$ 为全序集，关系 $\leq$ 为全序关系
良序集：若集合 $A$ 每个自己都有极小元，则称为良序集
- 特点
- 偏序指集合中只有部分成员之间可比较
- 全序指集合全体成员之间均可比较
- 良序集则是不存在无穷降链的全序集（可有无穷升链）
序数
- 序数：若集合 $A$ 中每个元素都是 $A$ 的子集，则称 $A$ 是传递的。而 $A$ 对于关系 $\in$ 构成良序集，则称 $A$ 为序数
满足如下形式的集合即为序数
序数的性质（引理）
- 若 $\alpha$ 为序数，$\beta \in \alpha$，则 $\beta$ 也是序数
- 对任意序数 $\alpha, \beta$，若 $\alpha \subset \beta$，则 $\alpha \in \beta$
- 对任意序数 $\alpha, \beta$，必有 $\alpha \subseteq \beta$ 或 $\beta \subseteq \alpha$
由以上，序数性质的解释
- 序数是唯一的，都满足上述形式
- 序数都是由自己之前的所有序数构造而来
- 对任意序数 $\alpha$，有 $\alpha = {\beta: \beta < \alpha }$ （$ < $ 表示偏序关系）
将 $0, 1, 2, \cdots$ 依次对应上述序数，即给出自然数和序数
- https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8F%E6%95%B0
- 自然数可用于描述集合大小（势，基数）、序列中元素的位置（序，序数）
良序定理
- Zermelo 良序定理：任何集合 $P$ 都能被赋予良序
- Zermelo 良序定理和 ZFC 选择公理等价，可以由选择公理证明
- 由选择公理，可以一直从集合中选择元素，建立偏序关系
- 而集合有限，则集合和序数之间可以建立双射
基
基数
- 基数：序数 $k$ 为基数，若对任意序数 $\lambda < k$，都有 $|\lambda| < |k|$
- Counter 定理：设 $A$ 为集合，$P(A)$ 为 $A$ 的幂集，则有 $|A| \leq |P(A)|$
基数是集合势的标尺
数的集合的基数
- 自然数集合基数 $\aleph_0$：最小的无限基数
- 实数集集合基数称为 continuum 连续统
连续统假设：不存在一个集合，基数在自然数集和连续统之间
- 哥德尔证明：连续统假设与公理化集合论体系 Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice 中不矛，即不能再 ZFC 中被证伪
- 科恩证明：连续统假设和 ZFC 彼此独立，不能在 ZFC 公理体系内证明、证伪