集合

集合

  • 等势:若集合 $X, Y$ 之间存在双射 $\phi: X \rightarrow Y$,则称 $X, Y$ 等势
  • 可数/可列集合:与自然数集合、其子集等势的集合称为可数集合,否则称为不可数集合
  • 等势构成集合之间的等价关系
    • 集合 $X$ 的等势类记为 $|X|$
    • 若存在单射 $\phi: X \rightarrow Y$,则记为 $|X| \leq |Y|$
  • 一些基本结论
    • 自然数集 $N = {0, 1, 2, 3, \cdots}$ 和闭区间 $[0,1]$ 不等势

  • 偏序集:若集合 $A$ 上有二元关系 $\leq$ 满足以下性质,则称集合 $A$ 为偏序集,关系 $\leq$ 称为偏序关系

    • 反身性:$\forall x \in A, x \leq x$
    • 传递性:$(x \leq y) \wedge (y \leq z) \Rightarrow x \leq z$
    • 反称性:$(x \leq y) \wedge (y \leq x) \Rightarrow x = y$
  • 全序集:若 $\leq$ 是集合上的偏序关系,若对每个$x, y \in A$,必有 $x\leq y$ 或 $y \leq x$,则称集合 $A$ 为全序集,关系 $\leq$ 为全序关系

  • 良序集:若集合 $A$ 每个自己都有极小元,则称为良序集

  • 特点
    • 偏序指集合中只有部分成员之间可比较
    • 全序指集合全体成员之间均可比较
    • 良序集则是不存在无穷降链的全序集(可有无穷升链)

序数

  • 序数:若集合 $A$ 中每个元素都是 $A$ 的子集,则称 $A$ 是传递的。而 $A$ 对于关系 $\in$ 构成良序集,则称 $A$ 为序数
  • 满足如下形式的集合即为序数

  • 序数的性质(引理)

    • 若 $\alpha$ 为序数,$\beta \in \alpha$,则 $\beta$ 也是序数
    • 对任意序数 $\alpha, \beta$,若 $\alpha \subset \beta$,则 $\alpha \in \beta$
    • 对任意序数 $\alpha, \beta$,必有 $\alpha \subseteq \beta$ 或 $\beta \subseteq \alpha$
  • 由以上,序数性质的解释

    • 序数是唯一的,都满足上述形式
    • 序数都是由自己之前的所有序数构造而来
    • 对任意序数 $\alpha$,有 $\alpha = {\beta: \beta < \alpha }$ ($ < $ 表示偏序关系)
  • 将 $0, 1, 2, \cdots$ 依次对应上述序数,即给出自然数和序数

良序定理

  • Zermelo 良序定理:任何集合 $P$ 都能被赋予良序
  • Zermelo 良序定理和 ZFC 选择公理等价,可以由选择公理证明
    • 由选择公理,可以一直从集合中选择元素,建立偏序关系
    • 而集合有限,则集合和序数之间可以建立双射

基数

  • 基数:序数 $k$ 为基数,若对任意序数 $\lambda < k$,都有 $|\lambda| < |k|$
  • Counter 定理:设 $A$ 为集合,$P(A)$ 为 $A$ 的幂集,则有 $|A| \leq |P(A)|$
  • 基数是集合势的标尺

  • 数的集合的基数

    • 自然数集合基数 $\aleph_0$:最小的无限基数
    • 实数集集合基数称为 continuum 连续统
  • 连续统假设:不存在一个集合,基数在自然数集和连续统之间

    • 哥德尔证明:连续统假设与公理化集合论体系 Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice 中不矛,即不能再 ZFC 中被证伪
    • 科恩证明:连续统假设和 ZFC 彼此独立,不能在 ZFC 公理体系内证明、证伪
Author

UBeaRLy

Posted on

2019-07-21

Updated on

2021-07-19

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