函数

齐次函数

齐次函数：有倍数性质的函数，若变量乘以系数 $\alpha$，则新函数为原函数乘上 $\alpha^k$ 倍

$$f(\alpha x) = \alpha^k f(x)$$

• $\alpha \neq 0 \in F, x \in X$
• $f: X \rightarrow W$：域 $F$ 内两个向量空间之间的 $k$ 次齐次函数

• 线性函数 $f: X \rightarrow W$ 是一次齐次函数
• 多线性函数 $f: x_1 x_2 \cdots * x_n \rightarrow W$ 是 $n$ 次齐次函数

基本定理

• 欧拉定理：函数 $f: R^n \rightarrow R$ 可导、$k$ 次齐次函数，则有 $x \nabla f(x) = kf(x)$