存储格式

数值存储

• 机器数：数在计算机中二进制表示形式，带符号
• 真值：考虑表示规则，机器数二进制表示的真实数值

• 大小端

  • big-little endian大小端：高位byte在低位byte前
    • 更适合人理解
  • little-big endian小大端：低位byte在高位byte前
    • 更适合计算机计算，大部分计算机架构
    • 方便截断操作

• 符号（有符号数）：大部分（静态）语言使用最高位表示符号

  • 0：正数
  • 1：负数

  • 动态语言如 python 的整形不对应定长数据类型，存储逻辑和 cpp/c 等语言相差较大

整形

• 模：衡量计数系统容量的参数，代表了计数系统能表示、存储的状态数

原码、反码、补码

• sign and magnitude 原码：二进制位表示数值本身
  • 需要额外符号位标识正负
• ones’ complement 反码：二进制位为真值对计数系统最大值求补
  • one：表示有限位计数系统能表示的最大值，即二进制位全为 1
    • 符号位不仅标识正负值，且可作为数值位参与运算
    • 但不是对模求补
      • 存在 +0/-0 问题
      • 运算结果和实际结果相差 1
  • 考虑到二进制位全 1 性质
    • 正数：反码即为其原码
    • 负数：反码为原码符号位不变，数值位取反（因此被称反码）
• twos’ complement 补码：二进制位为真值对计数系统模求补
  • two：表示有限位计数系统容量，即溢出 1、二进制位全为 0
    • 符号位不仅标识正负值，且可作为数值位参与运算
    • 考虑到是对模求补
      • -0 表最大负值，不存在 +0/-0 问题
      • 运算结果和实际结果相同
  • 将有限位计数系统视为加法封闭群
    • 系统中各元素是有序的，为保证加法计算，则最大正值之后必然为最大负值
    • 正、负值可视为是对群元素的人为划分
    • 可以任意值作为划分，但二进制位计算真值复杂
  • 考虑到二进制位全 0 性质
    • 正数：补码即为其原码
    • 负数：补码为反码 +1（原码也为补码数值位求反后 +1）

浮点型

• 遵循 IEEE 754 标准的系统必须支持单精度，最好支持双精度，对扩展精度则无要求

	长度	符号位	指数/阶码	尾数	有效位数	指数偏移/偏阶
单精度	32bits	1bit	8bits	23bits	23bits	127（规格化）/126（非规格化）
双精度	64bits	1bit	11bits	52bits	53bits	1023（规格化）/1022（非规格化）
扩展精度	80bits	1bit	15bits	64bits	64bits	16383

$$\begin{align*} N &= (-1)^F * 2^{E - 127} * (1 + F), & 规格化数 \\ N &= (-1)^F * 2^{-126} * F, & 非规格化数 \\ \end{align*}$$

• 符号位：数值整体正负号
• 指数/阶码：数值小数点位置，也即数值放缩
  • 阶码部分没有单独的符号位，为表示负值，则需要规定指数偏移，将 阶码减去偏移量得到实际指数值
  • 指数偏移被设置为 $2^{E-1} - 1$ 好处
    • 对称正负取值范围
    • 首位即可判断浮点值和 1 关系
• 尾数：数值精确程度
  • 根据 IEEE 754，规格化值尾数首位（整数位）必须为 1
    • 规格化值的尾数值必然大于 1
    • 单、双精度可以省略对首位的存储，有效位数比尾数长度多 1
    • 扩展精度不区分是否为规格化值
  • （单、双精度）非规格化值首位为 0，同样省略
    • 非规格化值允许尾数部分小于 1，扩展浮点数对小值的表示
    • 所以，非规格化值阶数部分必然（规定）全为 0
    • 非规格化值指数偏移量比规格化值小 1，可缩小最小规格化值与最大非规格化值间距
• 特殊浮点值
  • 指数值全 1、尾数非 0：NaN
  • 指数值全 1、尾数为 0：正、负无穷

• 事实上指数底数可以是任意值，但 IEEE 754 标准规定底数为 2