协整与误差修正模型

Spurious Regression

• 多变量分析中，平稳性非常重要，忽略序列平稳性判断，容易出现伪回归现象

• Granger、Newbold 的非平稳序列的伪回归随机模型实验（两个独立随机游走模型）表明

  • 非平稳场合，参数显著性检验犯弃真错误的概率远大于 $\alpha$，伪回归显著成立
  • 即 $P(|t| \geqslant t_{\alpha/2}(n) | 非平稳序列) \leqslant \alpha$

Cointegration 协整关系

$$y_t = \beta_0 + \sum_{i=1}^k \beta_i x_{it} + \epsilon_t$$

• ${x_1}, {x_2}, \cdots, {x_k}$：自变量序列
• $y_t$：响应变量序列
• ${\epsilon_t}$：平稳回归残差序列

协整检验

• 假设条件

  • $H_0: \epsilon_t ~ I(k), k \geqslant 1$：多元非平稳序列之间不存在协整关系
  • $H_1: \epsilon_t ~ I(0)$：多元非平稳序列之间存在协整关系

• 建立响应序列与输入序列之间的回归模型

• 对回归残差序列进行 EG 平稳性检验

Error Correction Model

ECM：误差修正模型，解释序列短期波动关系

• Granger 证明协整模型、误差修正模型具有 1-1 对应关系
  • 协整模型度量序列之间长期均衡关系

• 实务中，响应序列与解释序列很少处于均衡点上，实际观测的是序列间短期或非均衡关系

Granger 表述定理

• 如果变量 $X$、$Y$ 是协整的，则他们之间的短期非均衡关系总能用一个误差修正模型表述 $$

    \Delta Y_t = lagged(\Delta Y, \Delta X) - \lambda ECM_{t-1} + \epsilon_t
  

  $$

• 对关系 $y_t = \beta x_t + \epsilon_t$

  $$\begin{align*} y_t - y_{t-1} & = \beta x_t - \beta x_{t-1} - \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \\ \Delta y_t & = \beta \delta x_t - ECM_{t-1} + \epsilon_t \end{align*}$$

• 响应序列当期波动 $\Delta y_t$ 主要受到三方面短期波动影响

  • $\Delta x_t$：输出序列当前波动
  • $ECM_{t-1}$：上一期误差
  • $\epsilon_t$：纯随机波动

误差修正模型

$$\Delta y_t = \beta_0 \Delta x_t + \beta_1 ECM_{t-1} + \epsilon_t$$

• $\beta_1 < 0$：表示负反馈机制
  • $ECM_{t-1} > 0$：正向误差，则会导致下一期值负向变化
  • $ECM_{t-1} < 0$：负向误差，则会导致下一期值正向变化

Granger 因果关系

• 因果关系：原因导致结果

  • 时间角度：原因发生在前，结果发生在后
  • 影响效果：$X$ 事件发生在前，且对 $Y$ 事件发展结果有意义

• Granger 检验可检验统计学意义上的 Granger 因果关系

  • 统计意义上的因果关系和现实意义上因果关系不同
  • 现实意义上变量因果关系强调逻辑自洽

Granger 因果关系

• 序列 $X$ 是序列 $Y$ 的 Granger 原因，当且仅当最优线性预测函数使得下式成立 $$

    \theta^2(y_{t+1}|I_t) \leq \theta^2(y_{t+1}|I_t-X_t)
  

  $$

• $It = { x_t, x{t-1}, \cdots, yt, y{t-1}, \cdots }$：$t$ 时刻所有有用信息集合

• $Xt = { x_t, x{t-1}, \cdots }$：t时刻所有序列信息集合
• $\theta^2(y_{t+1}|I_t)$：使用所有可获得历史信息 （包括 ${x}$ 序列历史信息）得到的一期预测值方差
• $\theta^2(y_{t+1}|I_t-X_t)$：从所有信息中刻意扣除 ${x}$ 序列历史信息得到的一期预测值方差

• Granger 因果关系分类
  • $(x, y)$：相互独立
  • $(x \leftarrow y)$：$x$ 是 $y$ 的 Granger 原因
  • $(x \rightarrow y)$：$y$ 是 $x$ 的 Granger 原因
  • $(x \leftrightarrow y)$：互为因果

Granger 因果检验

• 建立回归方程

  $$y_t = \alpha_0 + \sum_{i=1}^m \alpha_i x_{t-i} + \sum_{j=1}^n b_j y_{t-j} + \sum_k cz_{t-k} + \epsilon_t$$

  • $z_t$：其他解释变量集合
  • $\epsilon_t \sim I(0)$

• 假设

  • $H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_m = 0$
  • $H_1: \alpha_i 不全为0$

• 检验统计量：F统计量

  $$F = \frac {(SSE_r - SSE_u) / q} {SSE_u/n-q-p-1} \sim F(q, n-p-q-1)$$

Granger 因果检验说明

• Granger 因果检验思想：对响应变量预测精度有显著提高的自变量，就视为响应变量的因

  • 因果性可以推出预测精度提高，但预测精度提高不能等价推出因果性
  • 即使检验结果显著拒绝原假设，也不能说明两个序列之间有真正因果关系

• Granger 因果检验是处理复杂变量关系时的工具

  • 借助因果检验信息，可以帮助思考模型结果
  • 不一定准确，但是提供信息比完全没有信息好

• Granger 因果结果说明

  • 检验结果严重依赖解释变量的延迟阶数，不同延迟阶数可能会得到不同的检验结果
  • 检验结果会受到样本随机性影响，样本容量越小随机性越大，所以最好在样本容量比较大时进行检验