Decision Tree
决策树概述
结构
- 决策树分析结论、展示方式类似一棵倒置的树
决策树由 node、directed edge 组成
- internal node：内部节点，表示特征、属性
- leaf node：叶子节点，表示一个类
对训练数据进行分类
- 从根节点开始，对实例某特征进行测试，根据测试结果将实例分配到其子节点，对应该特征一个取值
- 递归地对实例进行分配，直至到达叶子节点，将实例分到叶节点地类中
对新数据的预测
- 从决策树的树根到树叶搜索，确定数所的叶子节点
- 利用叶子节点中训练数据集预测
- 分类型：众数
- 数值型：均值
本质
决策树：本质上是从训练数据中归纳出一组分类规则
- 与训练数据不矛盾的分类规则（即能对训练数据正确分类）可能有多个、没有，需要找到矛盾较小、泛化能力较好的
- 决策树学习也是由训练数据集估计条件概率模型，需要寻找对训练数据有很好拟合、对未知数据有很好预测的模型
分类规则集合
- 决策树可以看作是 if-then 规则的集合：体现输入、输出变量逻辑关系
- 决策树根节点到叶节点每条路径构成一条规则
- 路径上内部节点的特征对应规则的条件，叶节点对应规则结论
- 决策树的路径或其对应的 if-then 规则集合 互斥且完备，即每个实例有且仅有一条路径覆盖
条件概率分布
- 决策树可以表示定义在特征空间、类空间上的条件概率分布
此条件概率分布定义在特征空间的一个划分（有限）上
- 决策树中一条路径（叶节点）对应划分中一个单元
- 每个单元定义的概率分布就构成一个条件概率分布
条件概率分布由 各单元的给定条件下，各类的条件概率分布组成
- $P(Y|X)$：$X$ 为表示特征的随机变量（取值各个单元），$Y$ 表示类的随机变量
- 各叶节点上的条件概率往往偏向于某类，决策树分类时将属于该节点实例分为该类
特点
优势
- 能有效处理分类型输入变量
- 能够实现非线性分割
- 模型具有可读性，分类速度块
问题
- 充分生长的决策有高方差，预测不稳定
- 剪枝可以提高预测稳健性，但是预测精度可能会下降
决策树构建
从所有可能决策树中选取最优决策树是NP完全问题
- 所以实际决策树算法通常采用 启发式 算法、贪心算法，近似求解最优化问题，得到 sub-optimal 决策树
- 从包含所有数据的根节点开始，递归的选择 当前 最优特征、分割点对训练数据进行分割，使得各子数据集有当前最好分类
- 此样本不断分组过程对应特征空间的划分、决策树的构建
原则：使节点/组内观测取值异质性下降最大，从而确定
- 最佳划分特征
- 特征的最佳分割点
| 算法 | ID3 | C4.5 | CART | CHAID |
|---|---|---|---|---|
| 特征 | 分类 | 分类、连续 | 同左 | 同左 |
| 输出 | 分类 | 分类 | 分类、回归 | 分类 |
| 连续值处理 | - | 二分法 | 同左 | 等距分组 |
| 分叉 | 多叉 | 多叉 | 二叉 | 多叉 |
| 分裂指标 | 信息增益 | 信息增益比 | GINI 不纯度 | 相关性 |
| 前剪枝 | - | 叶节点数量 | 树深度、节点样本数量 | - |
| 后剪枝 | - | 置信度、减少-误差法 | MCCP | - |
异质性衡量：划分准则
- 信息增益
- 信息增益比：避免信息增益倾向于取值较多特征
- 若样本类别严格服从分布，则信息增益和信息增益比选择应完全相同
- 但由于偶然性、样本数量等原因，各特征取值的样本数量往往不完全符合分布
- 由信息增益定义可看出，各特征取值样本数量较小时，数量变动影响更大，而特征取值较多更可能出现各取值对应样本数量较小
- GINI 指数
- 研究表明，不同决策树的划分准则对泛化性能影响有限，信息增益和 GINI 指数理念分析表明，其仅在 2% 情况下有所不同
特征变量处理
离散值处理
- 全分类：各类别分别独立作为分支，构建节点
- 切分二分：将类别分为的两组
- 是否二分：某取值作为一个分支，其余作为另一分支
连续值处理
- 二分法：选择阈值，按照阈值将连续值分为两部分
- 精确阈值选取：检查所有可能阈值点，即所有不同取值点的中间点
- 近似阈值选取
- 近似分裂算法：选取一组阈值，将特征划分至不同桶内，类似分类值处理
- 等频阈值：分位数
- 等距阈值：linespace
- 二分法：选择阈值，按照阈值将连续值分为两部分
缺失值处理
- 缺失值处理需要解决：异质性衡量指标计算、特征缺失样本划分问题
异质性衡量指标计算：使用特征未缺失样本权重对指标加权（以信息增益为例）
- $Y, X, w_x$：样本类别，特征，样本权重
- $D, \tilde D, \tilde {D_k}, \tilde {D^v}$：样本全集，在特征 $X$ 上无缺失样本子集，属于 $k$ 类样本子集，在特征 $X$ 上取 $v$ 样本子集
特征缺失样本划分
- 划分至所有节点，其权重设置为 $\tilde {r_v} * w_x$
- $\tilde {r_v}$ 为节点 $v$ 的权重
- 即将特征缺失样本节点权重比例划分至各节点
- 划分至所有节点，其权重设置为 $\tilde {r_v} * w_x$
剪枝
树剪枝：在决策树的学习过程中，将已生成的树进行简化的过程
最小化 RSS、最大化置信目标下，会导致庞大的树
- 对训练数据拟合好
- 模型复杂度越高
- 推广能力差
- 比较难理解、解释
通过剪枝得到恰当的树，具备一定的预测精度、复杂程度恰当，代价（误差）和复杂度之间的权衡是必要的
Pre-pruning 预剪枝：在决策树分裂过程中，不分裂不满足分裂条件的节点，限制决策树充分生长
- 分裂条件
- 最大深度
- 叶节点数量
- 样本量最小值
- 异质性下降阈值
- 预剪枝基于“贪心”的禁止划分，可能降低过拟合、减少时间开销，但也可能导致欠拟合
- 分裂条件
Post-pruning 后剪枝：决策分裂完成后，根据一定规则剪去不具备普遍性的子树
- 比预剪枝决策保留更多分支，欠拟合风险小、泛化性能好
- 决策树生成局部模型，决策树剪枝学习整体模型
- 剪枝方法、程度对泛化性能影响显著，尤其是数据带有噪声
自底向上剪枝
自底向上剪去所有无法改善评价准则的非叶节点分支（转为叶节点）
- 最简单后剪枝策略
- 若已使用一定预剪策略，则该策略价值不大
特点
- 须在生成完全决策树之后自底向上逐个考察非叶节点，时间开销大
Minimal Cost Complexity Pruning
- $N_t$：树 $T$ 的第 $t$ 个叶子节点中样本点数量
- $N_{t,k}$：树 $T$ 的第 $t$ 个叶子节点第 $k$ 类样本点数量
- $H_t(T)$：树 $T$ 的第 $t$ 个叶子节点熵
- $C(T)$：模型对训练数据的预测误差
- $|T|$：用叶节点数量衡量的模型复杂度
- $\alpha \geq 0$：控制模型复杂度对模型总损失影响，每个叶节点带来的复杂度
- 极小化损失复杂度剪枝
- 损失函数：正则化的极大似然函数
- 此策略即在给定 $\alpha$ 的情况下，选择损失函数最小树
剪枝步骤
- 输入：生成算法产生的整个树 $T$，参数 $\alpha$
- 输出：修剪后的子数 $T_\alpha$
- 计算每个节点的经验熵
- 递归的从树的叶节点向上回缩
- 若 $C\alpha(T{before}) \geq C\alpha(T{after})$，则剪枝
- 不断回缩直到根节点，选取损失函数最小的子树 $T_\alpha$
- 算法只需要比较节点、节点子树之间损失函数之差即可，计算可以在局部进行
- 算法可以由动态规划算法实现
超参选择
对给定超参 $\alpha$，存在使损失函数 $C\alpha(T)$ 最小子树 $T\alpha$，且此最优子树唯一
- $\alpha$ 偏大时，最优子树 $T_\alpha$ 偏小
- $\alpha=0$ 时完整树最优，$\alpha \rightarrow \infty$ 时单节点树最优
对决策树种每个节点 $t$，通过以下策略生成 $g(t)$
- $C_{\alpha}(T^t) = C(T^t) + \alpha|T^t|$：以 $t$ 为根节点的子树 $T^t$ 损失
- $C_{\alpha}(t) = C(t) + \alpha$：对 $t$ 剪枝之后，仅包含单个节点 $t$ 的正则损失
- 则 $\alpha=g(t) = \frac {C(t)-C(T^t)} {|T^t|-1}$ 时，单节点 $t$ 和子树 $T^t$ 损失相同
考虑以上 $g(t)$ 序列
- $\alpha^t=g(t)$ 表示对 $T^{(0)}$ 中每个内部节点 $t$ 剪枝后，整体损失函数值减少程度
- 可以证明，对以上 $\alpha > 0$ 序列排序，按 $0, \alpha^{(1)}, \cdots, \alpha^{(N)}$ 依次进行剪枝，对应最优子树序列 $T^{(0)}, T^{(1)},\cdots, T^{(N)}$ 嵌套
- 通过交叉验证法在独立的验证数据集上对子树进行测试，选择最优决策树
完整剪枝+超参选择
- 输入：CART 算法生成决策树 $T^{(0)}$
- 输出：最优决策树 $T_\alpha$
自下而上地计算各内部节点 $t$ 对应 $C(T^t), |T^t|, g(t)$，对 $g(t)$ 升序排列得到 $\alpha^{(1)},\cdots,\alpha^{(N)}$
置：$k=1, \alpha=\alpha^{(k)}, T=T^{(0)}$
自上而下访问内部节点，若有 $g(t)=\alpha$，剪枝并计算新叶节点 $t$ 取值，得到对应最优树 $T^{(k)}$
- 对于节点 $t$，其子树 $T^t$ 最大有效 $\alpha$ 也只是根节点对应 $g(t)$，更大没有价值
- 自上而下剪枝避免无效剪枝
置：$k+=1, \alpha=\alpha^{(k)}, T=T^{(k)}$
若 $T$ 不是单节点树，则重复以上
采用交叉验证法在子树序列中选取最优子树 $T_\alpha$
- 也可从 $\alpha \leftarrow \infty$ 开始，逐渐减少，添枝 得到子树序列
决策树构建算法
以下是一些经典的决策树（算法），但实际实现中往往不会严格按其构建决策树
决策树算法常用递归描述、构建，完全决策树中止条件如下 （往往不会应用，而是以预剪枝条件作为中止条件）
- 节点中样本属于同一类
- 所有特征利用完毕
- 无法找到满足划分阈值的特征、划分点
Iterative Dichotomiser 3
步骤
- 输入：训练数据集 $D$，特征集 $A$，阈值 $\epsilon$
- 输出：决策树 $T$
以下情况下 $T$ 为单节点树，以 $D$ 中实例数最大的类（众数） $C_k$ 作为该节点的类标记，返回 $T$
- $D$ 中所有实例属于同一类 $C_k$
- $A = \varnothing$
计算 $A$ 中各特征对 $D$ 的信息增益，选择信息增益最大的特征 $A_g$
- 若 $A_g$ 的信息增益小于阈值 $\epsilon$，则置 $T$ 为单节点树，并将 $D$ 中实例数最大的类 $C_k$ 作为节点类标记，返回 $T$
- 否则，对 $A_g$ 每个可能值 $a_m$，将 $D$ 分割为若干非空子集 $D_i$
- 将 $D_i$ 中实例数最多的类作为标记，构建子节点
- 对第 $i$ 个子节点，以 $D_i$ 为训练集，以 $A-{A_g}$ 为特征集，递归的构造子树 $T_i$ 并返回
特点
只允许分类型特征，且每个特征只会被用于划分一次
- 每次所有取值都会被用于建立子节点
- ID3 树是多叉树，各个节点的分叉个数取决于使用特征
只有树的生成，容易产生过拟合
以信息增益作为划分训练数据集的特征，倾向于选择取值较多的特征进行划分
- 理论上若特征取值严格符合分布，取值数量多寡，对信息增益没有影响
- 由于各种误差的存在，样本不可能严格符合总体分布，取值数量较多特征，各取值对应样本数量较少，误差会使得条件经验熵倾向于偏小 （假设误差随机，可以大概证明）
相当于用 极大似然法 进行概率模型的选择
C4.5
C4.5算法：ID3 算法继承者
与 ID3 差别
- 用信息增益比代替信息增益用于选择特征，并且也被用于 前剪枝
- 修正 ID3 倾向于使用取值较多的特征值分裂结点
- 兼容数值型特征，使用二分法处理
- 用信息增益比代替信息增益用于选择特征，并且也被用于 前剪枝
C4.5 算法还包含 C4.5Rules 将 C4.5 决策树转化为符号规则 - 各分支被重写为规则，并进行前件合并、删减
- 最终规则集泛化性能可能优于原决策树
Classification and Regression Tree
CART 树：可用于分类和回归的二叉树
特点
- 二叉树
- 可以用于分类、回归
- 分类：众数代表节点，GINI 指数选择特征
- 回归：均值代表节点，MSE 选择特征
- 能较好的处理缺失值
CART 回归：平方误差最小化准则
- $R_m$：空间划分出的第 $m$ 单元
- $\hat c_m=avg(y_i|x_i \in R_m)$：第 $m$ 个单元上所有实例输出变量均值，此时平方误差最小
CART 分类：最小化基尼指数准则
- $D_1 = {(x,y) \in D, X = a}$
- $D_2 = D - D_1$
- CART 树是二叉树，对分类变量只选择是否
CART回归步骤
- 输入：训练数据集 $D$
- 输出：回归树 $f(x)$
选择最优切变量 $j$、切分点 $s$，即求解
- $R_1(j,s) = {x|x^{(j)} \leq s}$
- $R_2(j,s) = {x|x^{(j)} \geq s}$
- $c_m = avg(y_i|x_i \in R_m)$：使得区域 $R_m$ 中平方误差最小，即其中样本点 $y_i$ 均值
- 这里通过 遍历 得到
对两个子区域 $R_1(j,s), R_2(j,s)$ 继续重复以上步骤，直至满足停止条件
将输入空间划分为 $M$ 个区域 $R_1, R_2, \cdots, R_M$，生成决策 树
CART 分类步骤
- 输入：训练数据集 $D$，停止计算条件
- 输出：CART 决策树
选择最优切变量 $j$、切分点 $s$
- 对每个特征 $X$，对其所有取值 $a$ 计算条件基尼指数
- 选择条件基尼指数最小的特征、对应的切分点，将训练数据依特征分配到两个子结点中
对生成两个子节点递归分裂，直至满足停止条件
生成 CART 决策树
Chi-squared Automatic Interaction Detector
CHAID 卡方自动交叉检验法：类似 ID3 算法，但利用卡方统计确定特征变量
特点
通过卡方统计量选择最显著特征变量作为划分特征
- 分类目标变量：列联分析，卡方检验
- 数值目标变量：回归分析，F检验
特征预处理
- 分类型特征变量：根据卡方统计量显著性、组数量等考虑拆分、合并分组
- 数值型特征变量：均分分组
是从相关性显著角度确定特征变量
- 对决策树分支优化明显
- 可用特征变量与目标相关性显著显著性作为停止分裂的标准
QUEST
Quick Unbiased Efficient Statical Tree：类似 CHAID 算法，但对选择特征、划分点依据不同，仅能处理分类目标变量
特点
类似 CHAID，选择最显著（p 值）的特征变量作为划分特征
- 分类特征变量：连列分析，卡方检验
- 数值特征变量：方差分析，F检验
划分点选择
- 分类特征变量：映射为 one-hot 向量后，用判别分析求解划分向量，再映射回划分取值
目标变量多分类
- 为每个类别计算特征均值，使用均值聚类将其简化为二分类
- 只需要为节点内样本的、用待划分特征计算均值
运行速度快于 CART 树