未归类概念

Radial Basis Function

• RBF 径向基函数：取值仅依赖到原点距离的实值函数，即 $\phi(x) = \phi(|x|)$

  • 也可以按照距离某中心点 $c$ 的距离定义，即 $\phi(x) = \phi(|x-c|)$
  • 其中距离一般为使用 $L_2$ 范数，即欧式距离
  • 函数 $\phi$ 一般与 $|x|$ 负相关

• 径向基函数最初用于解决多变量插值问题

  • 即以各样本为中心创建多个径向基函数
  • 多个径向基函数加权加和即得到拟合的函数曲线，可用于函数插值

  

常见径向基函数

• 定义 $r=|x-x_i|$

• 高斯函数

  $$\phi(r) = e^{-(\epsilon r)^2}$$

• Multiquadric 多二次函数：

  $$\phi(r) = \sqrt {1 + (\epsilon r)^2}$$

• Inverse Quadric 逆二次函数：

  $$\phi(r) = \frac 1 {1 + (\epsilon r)^2}$$

• Polyharmonic Spline 多重调和样条：

  $$\begin{align*} \phi(r) &= r^k, & k=1,3,5,\cdots \\ \phi(r) &= r^k (ln(r))^{}, & k=2,4,6,\cdots \\ \end{align*}$$

• Thin Plate Spline 薄板样条（多重调和样条特例）：

  $$\phi(r) = r^2 ln(r)$$